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a . Von Nullen und Einsen

. Eine der vornehmsten Aufgaben der Wissenschaft ist es, die Menschen von irrtümlichen Annahmen zu befreien, sie zu befähigen, in der Erscheinungsform der Dinge ihr Wesen zu erkennen. Dies gelingt nur durch doppelte Abstraktion. Zum einen müssen wir analytisch die uns erscheinende Form auf ihre unsichtbare Struktur reduzieren, zum anderen, darauf machte Bacon schon 1620 aufmerksam, die Täuschungen der Sinne und des Verstandes überwinden, die durch unsere Naturanlage, uns als Menschen zum Maßstab der Natur zu machen, hervorgerufen werden. Als wichtigstes Werkzeug zur Naturerkenntnis gilt die Mathematik. Ohne Mathematik gäbe es keine Physik, kaum Technik, keine Informatik. Galilei glaubte gar, „das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben“. Doch heute könnten wir wissen, dass auch die Mathematik nur ein menschliches Hirngespinst ist, eine – wie Bacon es nannte – „idola tribus“.
Mathematikern, die innerhalb eines in sich geschlossenen Systems arbeiten und forschen, kann dies gleichgültig sein. Ihr inzwischen höchst kompliziertes System ist weiter ausbaufähig, wie jährlich mehr als 100 000 Artikel über Fragen der Mathematik belegen. Nur für die Naturwissenschaften hätte es gewaltige Folgen, wenn sich herausstellen sollte, dass die 1 nicht das ist, was sie scheint.
Denn unsere Mathematik entstand aus der 1, und noch die komplizierteste Formel gäbe es nicht ohne sie. Aber was ist diese 1? Hat sie irgendetwas mit der Natur, der Materie, dem Sein zu tun, oder ist auch sie nur ein menschlicher Irrtum?
Die 1 entstammt einer Zeit, als es noch Einheiten gab. Ein Stein, ein Baum, ein Wolf, ein Mensch waren damals für die Menschen noch ein Stein, ein Baum, ein Wolf, ein Mensch und nicht Molekularverbindungen in unterschiedlichen Ausformungen. Die Welt war überschaubar, weil die Menschen nur einen winzigen Teil von ihr mit ihren Sinnesorganen wahrnehmen konnten. Sie zählten begreifbare Einheiten.
Im Laufe der intellektuellen Evolution gelang dem Menschen die Abstraktion. Aus dem einen Ding wurde die 1, aus dem Zählen das Rechnen, doch der Makel der Endlichkeit haftet bis heute an den Zahlen.
Nehmen wir eine Birne und einen Apfel. Wir können sie, wie jedes Kind weiß, nicht einfach zusammenzählen, sondern müssen dafür zunächst einen Oberbegriff einführen, z. B. Stück Obst. Oder betrachten wir unsere Schuhe: Ein Schuh und noch ein Schuh sind zwar zwei Schuhe. Diese  aber können sich wesentlich, unter Umständen sogar schmerzhaft unterscheiden: Vielleicht handelt es sich um zwei rechte oder einen rechten und einen linken oder zwei linke Schuhe. Weil unsere Sprache nur die Idee Schuh beschreibt, benötigen wir die Ergänzung Paar, um zusammenzuzählen, was zusammengehört.
Die Beispiele machen deutlich, dass jede angewandte Mathematik nichtmathematischer Ergänzungen bedarf, um sinnvoll scheinende Ergebnisse hervorzubringen. Aber auch wenn wir es uns einfach machen wollen und nur Äpfel zählen, müssen wir so tun, als wären alle Äpfel gleich. Im Alltag mag das passabel sein, aber schon beim Verkauf rechnen wir in Handelsklassen.
Zählen ist also zunächst nur der Versuch, unsere Umwelt nach menschlichem Vorstellungsvermögen zu ordnen, Dinge, die wir für Einheiten halten, zusammenzufassen. Daher können wir, was zwar ist, wir aber nicht kennen, auch nicht zählen, andererseits zählen wir manchmal zusammen, was, wie sich erst später herausstellt, gar nicht zusammengehört.
Noch Aristoteles forderte, die 1 müsse ein reales Substrat haben, d. h. als Einheit definiert sein. Dennoch trennten Mathematiker das Objekt von der Zahl und schufen damit die Voraussetzung höherer Mathematik, an deren Universalität freilich schon Sokrates zweifelte. Rein rhetorisch fragte er frech: Gäbe es Primzahlen, wenn es keine Mathematik gäbe?
Gewiss können solche Fragen einen abstrakten, ideellen Mathematiker nicht beeindrucken, weil sie seine auf Spielregeln beruhende Zahlentheorie nicht tangieren. Nur bleibt sein abstraktes Zählen sinnlos. Die Feststellung z. B. 23+42=65 hat keinen Informationswert. Wenn ich weiß, dass 23+42=65 ist, weiß ich nur das und nicht mehr und sollte dabei nicht vergessen, dass 87+68=45 genauso richtig ist, wenn ich eine andere Zeichenfolge (1=9, 2=8 usw.) zu Grunde lege. Diese Form der Mathematik eignet sich also vorzüglich dazu, mittels erlernter Spielregeln systemimmanente Operationen auszuführen, die letztlich nur sich selbst beweisen.
Wagen wir uns an die höhere Mathematik. Auch a+b=c ist nur eine Leerformel, die uns weismachen will, dass eine Menge plus einer Menge eine Menge ergibt, wobei uns die unterschiedlichen Bezeichnungen suggerieren, dass es sich um unterschiedliche Mengen handelt. Das funktioniert tatsächlich, solange wir den Symbolen a, b, c Begriffe, Ideen konkrete Eigenschaften zuordnen, z. B. in Form ganzer Zahlen. Um aber kompliziertere Berechnungen anstellen zu können, brauchten wir dort früher, hier später die Null und das Unendliche. Während wir mit der 1 eine wie auch immer geartete Vorstellung (Korn, Münze, Einheit ...) verbinden, können wir das Nichts und das Unendliche nicht wahrnehmen, begreifen oder auch nur denken, weil beide für uns im Unterschied zu den ganzen Zahlen nicht konkretisierbar sind. Prompt geraten wir mit unserer Rechnerei ins Schleudern. Plötzlich kann a b oder c a usw. sein (wenn b=0 ist a+b nicht nur c, sondern auch a, also c=a). Um die Gültigkeit unserer Formel trotzdem bewahren zu können, müssen wir akzeptieren, dass unterschiedlich Benanntes gleich sein kann. Das macht sie sinnlos, weil beliebig wie die rein willkürliche Regel, mit der 0 dürfe man alles anstellen, nur nicht dividieren.
Zenon kannte zwar noch keine 0, aber ahnte das Problem. Seit über zweieinhalbtausend Jahren provoziert er nun schon die Mathematiker mit seiner ebenso unsinnigen wie beweisbaren Behauptung, kein Läufer könne eine Schildkröte einholen. Denn immer, wenn der Läufer eine Teilstrecke zurückgelegt hat, ist auch die Schildkröte ein Stück vorwärts gekommen. Die Abstände mögen immer geringer werden, doch einholen, gar überholen wird sie der Läufer nie. Fataler noch, beide werden ihr Ziel nie erreichen. Nehmen wir den Start A, das Ziel B, die Entfernung zwischen beiden beträgt 1. Um von A nach B zu gelangen, muss man zuerst C erreichen, einen Punkt auf halbem Weg = ½. Doch um C zu erreichen, muss man erst einmal nach D kommen, einem Punkt auf halber Strecke zwischen A und C=AC/2 gleich AB/4 = ¼. Und so weiter. Zwar werden die Abschnitte (Brüche) immer kürzer (kleiner), doch jeder Bruch lässt sich halbieren, so dass B nie erreicht, die Summe der Teilstrecken nie eins wird.
Bevor wir uns die Tricks anschauen, mit denen die Mathematiker Zenons Provokation eliminieren, wollen wir noch im historischen Ablauf eine weitere Abstraktion der Mathematik betrachten. 628 n. Chr. vollendete der indische Astronom Brahmgupta unser derzeitiges Zahlensystem durch die Einführung negativer Zahlen und durch die Anhebung des schon seit 1000 Jahren bekannten Platzhalters „Leere“ zur Zahl 0. Über die Konsequenz war sich Brahmagupta sehr wohl bewusst: „Dividiert man irgendeine Zahl durch das Nichts, wird Unendlichkeit.“
Die 0 wird zwar heute als erste ganze Zahl betrachtet, doch ist sie von anderer Art als die Eins. Ob ich in einen Apfelkorb 0 Äpfel oder 0 Birnen dazulege, ist ziemlich gleichgültig, es ändert sich weder die Zahl der Äpfel im Korb noch ihre Bezeichnung. Die 0, das Nichts, ist in der Eigenschaftslosigkeit eine höhere Abstraktion, als sie die ganze Zahl darstellt. Daher passt sie auch nicht ganz in das System – nicht nur bei der Division.
Zurück zu Zenon. Sooft wir auch die jeweils halbierten Brüche ½, ¼ ... addieren, nie ergibt ihre Summe 1. Da nicht sein kann, was nicht sein darf, definierten Mathematiker schlicht, die unendliche Reihe ½, ¼ ... habe die endliche Summe 1. Trotz solcher mathematischer Tricks wie Konvergenz ist offensichtlich, dass hier zwei unvereinbare Parameter, die konkrete 1 und die abstrakte Unendlichkeit, kollidieren. Oder anders ausgedrückt: Die menschliche und daher endliche 1 verträgt sich nicht mit der Unendlichkeit des Seins und dem Nichts. Also müssen sich Mathematiker  immer wieder über Konflikte hinwegmogeln, z. B. durch das von Abraham Robinson erdachte Infinitesimal. So nannte er eine beliebig kleine Größe, die „größer als Null, aber kleiner als jede positive Zahl“ ist. Damit kann man zwar Zenons Behauptung widerlegen, aber die Lächerlichkeit der Konstruktion sollte eigentlich auch Mathematikern erkennbar sein, verwendet doch die Definition die Begriffe „größer“ und „kleiner“, nur messen lässt sich dieses Infinitesimal nicht. Und obwohl es größer als Null ist, soll es beliebig oft addiert doch kleiner bleiben als die kleinste positive Zahl – eine Brücke, die eher an Esel denken lässt als an Logik.
Wie schon bei der Konvergenz versucht auch die Infinitesimalrechnung, die Unvereinbarkeit unserer endlichen Mathematik mit dem Unendlichen (dem Nichts, dem Alles) zu überspielen. Dies wurde notwendig, weil die Mathematik der ganzen Zahlen (zu denen die 0 entgegen  der Lehre eben nicht gehört) menschlicher Welterfahrung (vor allem der Endlichkeit) entstammt, wogegen die 0 und das Unendliche notgedrungen durch menschliche Denkleistung entdeckt wurden. Ohne die traditionelle Mathematik wäre das nicht möglich gewesen, doch mit ihr kommen wir auch nicht weiter.
Im Unterschied zu den professionellen Mathematikern vermute ich, dass das Problem nicht im Nichts oder dem Unendlichen liegt, sondern in den „beschränkten“, auf menschlicher Sichtweise beruhenden Zahlen. Die Natur (Materie) kennt keine Zahlen, nur ein Sein und Nichtsein, wobei durchaus denkbar ist, dass auch diese Unterscheidung nur eine Fehlleistung menschlichen Denkens ist. Warum kann nicht, was ist, aus einer anderen Perspektive betrachtet (also in einem anderen Bezug) nicht sein? Wir Menschen zählen alles, doch das Nichts und das Unendliche können wir nicht zählen. Wir sind nicht einmal im Stande, eine Küstenlinie exakt zu vermessen (denn je genauer wir messen, desto länger wird sie) und wollen dennoch das Weltall vermessen, wozu wir es freilich ungeachtet seiner Beschaffenheit endlich machen müssen.
Schon die 1 erweist sich als Irrtum bezüglich der Wirklichkeit. Was immer wir bisher mit 1 bezeichneten, erwies sich als Vielfaches von etwas anderem. Die 1 als feste Größe ist ein Produkt menschlichen Wunschdenkens. Längst wissen wir, dass es nichts Festes, Statisches gibt, alles in und um uns ist in permanenter Bewegung. In einer für endlich gehaltenen Welt mag die 1 und alles, was aus ihr folgt, ganz brauchbar sein für Kochrezepte oder Relativitätsgleichungen, doch im Nichts und im Unendlichen macht sie keinen Sinn. Wie man vor lauter einzelnen Bäumen den Wald nicht sieht, sind Zahlen das untaugliche Mittel, die Materie zu begreifen, zu verstehen. Unsere auf der Hilfskonstruktion 1 beruhende Mathematik ist ein Ausdruck statischen Denkens und brauchbar für annähernde Mengenmessungen, Vergleiche, aber unnütz, ja irreführend beim Erfassen von Zuständen, Veränderungen. Bei der Beobachtung winzigster Teilchen haben wir bemerkt, dass eine Messung das Ergebnis beeinflusst. Wann werden wir begreifen, was Bacon schon 1620 wusste, dass wir als Messende, die sich zudem zum Maßstab der Dinge machten, Ergebnisse vorfinden, die mehr unserem Hirn  (idola tribus) als der Wirklichkeit entspringen?
Selbstverständlich geht es nicht darum, die Mathematik einfach abzuschaffen. Ohne ihre strukturierende Hilfe würden wir vom Chaos, dessen Teil wir sind, aufgesogen werden. Um aber das Chaos verstehen zu können, um auch weiterführende wissenschaftliche Forschung betreiben zu können, werden wir uns von menschlichen Ordnungsvorstellungen, aus denen wohl auch die angeblichen Naturkonstanten entstanden sind,  lösen und lernen müssen, fließend statt additiv zu denken. Anders lässt sich Materie als permanentes Beziehungs-, Bewegungs-, Veränderungsspiel zwar angucken, aber nicht verstehen.

  
© 2003 Karl Pawek

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